nlp自然语言处理基于SVD的降维优化学习

基于SVD的降维优化

向量降维:尽量保留数据“重要信息”的基础上减少向量维度。可以发现重要的轴(数据分布广的轴),将二维数据 表示为一维数据,用新轴上的投影值来表示各个数据点的值,示意图如下。

nlp自然语言处理基于SVD的降维优化学习插图

稀疏矩阵和密集矩阵转换:大多数元素为0的矩阵称为稀疏矩阵,从稀疏矩阵中找出重要的轴,用更少的维度对其进行重新表示。结果,稀疏矩阵就会被转化为大多数元素均不为0的密集矩阵。这个密集矩阵就是我们想要的单词的分布式表示。

奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD):任意的矩阵X分解为U、S、V,3个矩阵的乘积,其中U和V是列向量彼此正交的正交矩阵,S是除了对角线元素以外其余元素均为0的对角矩阵。

nlp自然语言处理基于SVD的降维优化学习插图1

关于SVD是怎么回事,从代码中分析:

代码中使用 NumPy 的 linalg 模块中的 svd 方法,如下。


 	U, S, V = np.linalg.svd(W)

我们输出C、W、U、S、V,如下所示,可以看出,C是共现矩阵、W是PPMI矩阵。可以看到S矩阵是降序排列的。


 	[0 1 0 0 0 0 0]
 	[1 0 1 0 1 1 0]
 	[0 1 0 1 0 0 0]
 	[0 0 1 0 1 0 0]
 	[0 1 0 1 0 0 0]
 	[0 1 0 0 0 0 1]
 	[0 0 0 0 0 1 0]
 	 
 	[[0. 1.807 0. 0. 0. 0. 0. ]
 	     [1.807 0. 0.807 0. 0.807 0.807 0. ]
 	     [0. 0.807 0. 1.807 0. 0. 0. ]
 	     [0. 0. 1.807 0. 1.807 0. 0. ]
 	     [0. 0.807 0. 1.807 0. 0. 0. ]
 	     [0. 0.807 0. 0. 0. 0. 2.807]
 	     [0. 0. 0. 0. 0. 2.807 0. ]]
 	
 	[[-3.409e-01 -1.110e-16 -3.886e-16 -1.205e-01 0.000e+00 9.323e-01 2.664e-16]
 	     [ 0.000e+00 -5.976e-01 1.802e-01 0.000e+00 -7.812e-01 0.000e+00 0.000e+00]
 	     [-4.363e-01 -4.241e-17 -2.172e-16 -5.088e-01 -1.767e-17 -2.253e-01 -7.071e-01]
 	     [-2.614e-16 -4.978e-01 6.804e-01 -4.382e-17 5.378e-01 9.951e-17 -3.521e-17]
 	     [-4.363e-01 -3.229e-17 -1.654e-16 -5.088e-01 -1.345e-17 -2.253e-01 7.071e-01]
 	     [-7.092e-01 -3.229e-17 -1.654e-16 6.839e-01 -1.345e-17 -1.710e-01 9.095e-17]
 	     [ 3.056e-16 -6.285e-01 -7.103e-01 7.773e-17 3.169e-01 -2.847e-16 4.533e-17]]
 	 
 	
 	[3.168e+00 3.168e+00 2.703e+00 2.703e+00 1.514e+00 1.514e+00 1.484e-16]
 	 
 	[[ 0.000e+00 -5.976e-01 -2.296e-16 -4.978e-01 -1.186e-16 2.145e-16 -6.285e-01]
 	     [-3.409e-01 -1.110e-16 -4.363e-01 0.000e+00 -4.363e-01 -7.092e-01 0.000e+00]
 	     [ 1.205e-01 -5.551e-16 5.088e-01 0.000e+00 5.088e-01 -6.839e-01 0.000e+00]
 	     [-0.000e+00 -1.802e-01 -1.586e-16 -6.804e-01 6.344e-17 9.119e-17 7.103e-01]
 	     [-9.323e-01 -5.551e-17 2.253e-01 0.000e+00 2.253e-01 1.710e-01 0.000e+00]
 	     [-0.000e+00 7.812e-01 2.279e-16 -5.378e-01 3.390e-16 -2.717e-16 -3.169e-01]
 	     [ 0.000e+00 2.632e-16 -7.071e-01 8.043e-18 7.071e-01 9.088e-17 1.831e-17]]
 	 

下面研究U、S、V矩阵究竟是什么,添加如下代码。


 	print("______________________")
 	jym = np.dot(V, U)
 	print(jym)
 	print("______________________")
 	jym2 = np.dot(U, V)
 	print(jym2)
 	print("______________________")
 	V2 = np.transpose(V)
 	jb = np.dot(V, V2)
 	print(jb)

输出如下,那就可以把U和V的性质给搞懂了。从jb = np.dot(V, V2),输出jb矩阵是单位矩阵,可知,V和U是正交矩阵。jym = np.dot(V, U),输出jym主对角线元素全为0。U和V是列向量彼此正交的,公式里面把V转置了也就是说,U的列向量和代码里的V的行向量是正交的,所以用V乘U,他们的对角元是0。


 	[[-6.212e-17 1.000e+00 1.015e-08 2.968e-16 -5.249e-09 1.712e-16 6.754e-17]
 	     [ 1.000e+00 1.597e-16 3.967e-16 -2.653e-08 1.099e-16 -1.336e-08 -5.293e-09]
 	     [ 2.653e-08 3.025e-16 -2.284e-16 -1.000e+00 4.270e-16 1.110e-08 5.760e-09]
 	     [ 3.718e-16 -1.015e-08 -1.000e+00 1.958e-16 4.416e-10 -2.641e-16 2.132e-16]
 	     [ 1.336e-08 1.143e-16 2.378e-16 1.110e-08 3.405e-17 -1.000e+00 -2.662e-09]
 	     [-1.096e-17 5.249e-09 4.416e-10 -4.753e-16 -1.000e+00 -4.458e-17 8.307e-17]
 	     [-5.293e-09 -1.657e-16 7.657e-17 -5.760e-09 -1.925e-16 2.662e-09 1.000e+00]]
 	 
 	[[-8.977e-18 9.539e-01 -2.775e-17 -2.497e-01 3.879e-16 7.108e-18 -1.668e-01]
 	     [ 9.539e-01 9.667e-18 1.764e-01 0.000e+00 1.764e-01 1.670e-01 0.000e+00]
 	     [ 4.757e-18 1.764e-01 5.000e-01 6.846e-01 -5.000e-01 3.262e-17 -1.578e-02]
 	     [-2.497e-01 -1.105e-16 6.846e-01 1.064e-16 6.846e-01 -2.032e-02 1.016e-16]
 	     [ 3.622e-18 1.764e-01 -5.000e-01 6.846e-01 5.000e-01 1.192e-16 -1.578e-02]
 	     [ 3.622e-18 1.670e-01 -1.220e-16 -2.032e-02 6.079e-17 9.043e-17 9.857e-01]
 	     [-1.668e-01 2.741e-17 -1.578e-02 -5.192e-17 -1.578e-02 9.857e-01 -4.663e-17]]
 	 
 	[[ 1.000e+00 6.620e-17 7.901e-18 -1.015e-08 -8.632e-18 5.249e-09 -9.431e-17]
 	     [ 6.620e-17 1.000e+00 2.653e-08 -3.141e-18 1.336e-08 -1.414e-16 -5.293e-09]
 	     [ 7.901e-18 2.653e-08 1.000e+00 -1.074e-17 -1.110e-08 4.054e-17 5.760e-09]
 	     [-1.015e-08 -3.141e-18 -1.074e-17 1.000e+00 4.150e-18 -4.416e-10 1.171e-16]
 	     [-8.632e-18 1.336e-08 -1.110e-08 4.150e-18 1.000e+00 3.792e-17 -2.662e-09]
 	     [ 5.249e-09 -1.414e-16 4.054e-17 -4.416e-10 3.792e-17 1.000e+00 2.740e-16]
 	     [-9.431e-17 -5.293e-09 5.760e-09 1.171e-16 -2.662e-09 2.740e-16 1.000e+00]]

SVD的直观意义

U是正交矩阵。这个正交矩阵构成了一些空间中的基轴 (基向量),可以将矩阵U作为“单词空间”。 S是对角矩阵,奇异值在对角线上降序排列,奇异值的大小也就意味着“对应的基轴”的重要性。奇异值小,对应基轴重要性就小,所以可以通过去除U矩阵中的多余的列向量来近似原始矩阵。从而把单词向量用降维后的矩阵表示。示意图如下。

nlp自然语言处理基于SVD的降维优化学习插图2

稀疏向量W经过 SVD 被转化成了密集向量U。如果要对这个密集向量降维,比如把它降维到二维向量,取出U的前两个元素即可。


 	text = 'You say goodbye and I say hello.'
 	corpus, word_to_id, id_to_word = preprocess(text)
 	vocab_size = len(id_to_word)
 	C = create_co_matrix(corpus, vocab_size, window_size=1)
 	W = ppmi(C)
 	# SVD
 	U, S, V = np.linalg.svd(W)
 	np.set_printoptions(precision=3) # 有效位数为3位
 	for i in range(7):
 	     print(C[i])
 	print(U)
 	# plot
 	for word, word_id in word_to_id.items():
 	     plt.annotate(word, (U[word_id, 0], U[word_id, 1]))
 	plt.scatter(U[:,0], U[:,1], alpha=0.5)
 	plt.show()

输出的U:


 	[[-3.409e-01 -1.110e-16 -3.886e-16 -1.205e-01 0.000e+00 9.323e-01
 	     2.664e-16]
 	     [ 0.000e+00 -5.976e-01 1.802e-01 0.000e+00 -7.812e-01 0.000e+00
 	     0.000e+00]
 	     [-4.363e-01 -4.241e-17 -2.172e-16 -5.088e-01 -1.767e-17 -2.253e-01
 	     -7.071e-01]
 	     [-2.614e-16 -4.978e-01 6.804e-01 -4.382e-17 5.378e-01 9.951e-17
 	     -3.521e-17]
 	     [-4.363e-01 -3.229e-17 -1.654e-16 -5.088e-01 -1.345e-17 -2.253e-01
 	     7.071e-01]
 	     [-7.092e-01 -3.229e-17 -1.654e-16 6.839e-01 -1.345e-17 -1.710e-01
 	     9.095e-17]
 	     [ 3.056e-16 -6.285e-01 -7.103e-01 7.773e-17 3.169e-01 -2.847e-16
 	     4.533e-17]]

用二维向量表示各个单词,并把它们画在图上,画出的图如下:goodbye 和 hello、you 和 i 位置接近,这个结果复合之前做的基于余弦相似度的结果。

nlp自然语言处理基于SVD的降维优化学习插图3

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